某高校在2013年考试成绩中100名学生的笔试成绩的频率分布直方图如图所示,(1)分别求第3,4,5组的频率;(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率;② 若第三组被抽中的学生实力相当,在第二轮面试中获得优秀的概率均为,设第三组中被抽中的学生有名获得优秀,求的分布列和数学期望。
已知函数 f ( x ) = x 2 + a x + b ( a , b ∈ R ) ,记 M ( a , b ) 是 f ( x ) 在区间 - 1 , 1 上的最大值. (1)证明:当 a ≥ 2 时, M ( a , b ) ≥ 2 ; (2)当 a , b 满足 M ( a , b ) ≤ 2 ,求 a + b 的最大值.
如图,在三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 -中, ∠ B A C = 90 ° , A B = A C = 2 , A 1 A = 4 , A 1 在底面 A B C 的射影为 B C 的中点, D 为 B 1 C 1 的中点.
(1)证明: A 1 D ⊥ 平面 A 1 B C ; (2)求二面角 A 1 - B D - B 1 的平面角的余弦值.
在 △ A B C 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 A = π 4 , b 2 - a 2 = 1 2 c 2 .
(1)求 tan C 的值; (2)若 △ A B C 的面积为 7 ,求 b 的值.
已知函数 f ( x ) = x + 1 - 2 x - a , a > 0 . (Ⅰ)当 a = 1 时求不等式 f ( x ) > 1 的解集; (Ⅱ)若 f ( x ) 图像与 x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围.
在直角坐标系 xOy 中,直线 C 1 :x=-2 ,圆 C 2 :(x-1)2+(y-2)2=1 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 1 , C 2 的极坐标方程. (Ⅱ)若直线 C 3 的极坐标方程为 θ= π 4 (ρ∈R) ,设 C 2 , C 3 的交点为 M,N ,求 △ C 2 MN 的面积.