如图,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C,且与OA交于点E、与OB交于点F,连接CE、CF.⑴ 求证:AB是⊙O的切线; ⑵ 若∠AOB=∠ECF,试判断四边形OECF的形状,并说明理由.
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A和点B,如果△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形,顶点M称为碟顶,线段AB的长称为碟宽.(1)抛物线的碟宽为 ,抛物线y=ax2(a>0)的碟宽为 .(2)如果抛物线y=a(x-1)2-6a(a>0)的碟宽为6,那么a= .(3)将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)的准蝶形记为Fn(n=1,2,3, ),我们定义F1,F2, ,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.如果Fn与Fn-1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点,现在将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.①求抛物线y2的表达式;②请判断F1,F2,,Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上?如果是,直接写出该直线的表达式;如果不是,说明理由.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC于E,连接CD.图1 图2 图3(1)如图1,如果∠A=30°,那么DE与CE之间的数量关系是 .(2)如图2,在(1)的条件下,P是线段CB上一点,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.(3)如图3,如果∠A=α(0°<α<90°),P是射线CB上一动点(不与B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转2α,得到线段DF,连接BF,请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系(不需证明).
已知:关于x的一元二次方程-x2+(m+1)x+(m+2)=0(m>0).(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;(2)当抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)经过点3,0),求该抛物线的表达式;(3)在(2)的条件下,记抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G,如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点,请结合函数的图象,求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围.
阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,试判断BC和AC、AD之间的数量关系.小明发现,利用轴对称做一个变化,在BC上截取CA′=CA,连接DA′,得到一对全等的三角形,从而将问题解决(如图2).图1 图2请回答:(1)在图2中,小明得到的全等三角形是△ ≌△ ;(2)BC和AC、AD之间的数量关系是 .参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9.求AB的长.图3
如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线EF,交AB和AC的延长线于E、F.(1)求证:FE⊥AB;(2)当AE=6,sin∠CFD=时,求EB的长.