如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的中点，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的中点，AE=CE，BF∥AC.

(1)求证：△AOE≌△BOF；
(2)求证：四边形BCEF是矩形.

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解方程： $\frac{2 x}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x - 1}$ ．

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（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点 $P$ 是抛物线上位于直线 $AC$ 上方的动点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的平行线，交直线 $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，当 $PD + PE$ 取最大值时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图（2），点 $M$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，点 $N$ 为抛物线上一点，当直线 $AC$ 垂直平分 $ΔAMN$ 的边 $MN$ 时，求点 $N$ 的坐标．

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古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，延长 $AB$ 至点 $C$ ，使 $BC = OB$ ，点 $E$ 是线段 $OB$ 的中点， $DE ⊥ AB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $CD$ ， $PE$ ， $PC$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）小明在研究的过程中发现 $\frac{PE}{PC}$ 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

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