一批食品,每袋的标准重量是50,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:),并得到其茎叶图(如图).(1)求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数;(2)若某袋食品的实际重量小于或等于47,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.
已知函数 f x = π x - cos x - 2 sin x - 2 , g x = x - π 1 - sin x 1 + sin x + 2 x π - 1 .证明:
(1)存在唯一 x 0 ∈ 0 , π 2 ,使 f x 0 = 0 ; (2)存在唯一 x 1 ∈ π 2 , π ,使 g x 1 = 0 ,且对(1)中的 x 0 + x 1 > π .
圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P (如图). (1)求点 P 的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ,且与直线 l:y=x+ 3 交于A,B两点,若 ∆PAB 的面积为2,求C的标准方程.
如图, △ A B C 和 △ B C D 所在平面互相垂直,且 A B = B C = B D = 2 , ∠ A B C = ∠ D B C = 120 ° , E , F , G 分别为 A C , D C , A D 的中点. (1)求证: E F ⊥ 平面 B C G ; (2)求三棱锥 D - B C G 的体积. 附:椎体的体积公式 V = 1 3 S h ,其中 S 为底面面积, h 为高.
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: (1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"; (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
在 △ A B C 中,内角 A , B , C 的对边 a , b , c ,且,已知 B A → · B C → = 2 , cos B = 1 3 , b = 3 ,求: (1) a 和 c 的值; (2) cos ( B - C ) 的值.