某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.
已知矩阵=,求的特征值,及对应的特征向量.
(本小题16分) 已知函数,为正常数。 (1)若,且,求函数的单调增区间; (2)若,且对任意,,都有,求的的取值范围。
(本小题16分) 已知数列满足:(为常数),数列中,。 (1)求; (2)证明:数列为等差数列; (3)求证:数列中存在三项构成等比数列时,为有理数。
(本小题16分) 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 轴,焦点 在直线 上,直线 与抛物线相交于 两点, 为抛物线上一动点(不同于 ),直线 分别交该抛物线的准线 于点 。 (1)求抛物线方程; (2)求证:以 为直径的圆 经过焦点 ,且当 为抛物线的顶点时,圆 与直线 相切。
(本小题14分) 已知某种稀有矿石的价值(单位:元)与其重量(单位:克)的平方成正比,且克该种矿石的价值为元。 (1)写出(单位:元)关于(单位:克)的函数关系式; (2)若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石,求价值损失的百分率; (3)把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。(注:价值损失的百分率;在切割过程中的重量损耗忽略不计)