小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点 是 上一动点，线段 ，点 是线段 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ．当 为等腰三角形时，求线段 的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点 在 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得到下表的几组对应值．
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0 |
1.0 |
2.0 |
3.0 |
4.0 |
5.0 |
6.0 |
7.0 |
8.0 |
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8.0 |
7.7 |
7.2 |
6.6 |
5.9 |
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3.9 |
2.4 |
0 |
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8.0 |
7.4 |
6.9 |
6.5 |
6.1 |
6.0 |
6.2 |
6.7 |
8.0 |
操作中发现：
①“当点 为 的中点时， ”．则上表中 的值是 5.0 ；
②“线段 的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段 的长度作为自变量 ， 和 的长度都是 的函数，分别记为 和 ，并在平面直角坐标系 中画出了函数 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 为等腰三角形时，线段 长度的近似值（结果保留一位小数）．
如图，抛物线 与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于点 ， ，且 ，点 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）点 ， 为抛物线上两点（点 在点 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 为抛物线上点 ， 之间（含点 ， 的一个动点，求点 的纵坐标 的取值范围．
我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 三分角器．图1是它的示意图，其中 与半圆 的直径 在同一直线上，且 的长度与半圆的半径相等； 与 垂直于点 ， 足够长．
使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 落在边 上，半圆 与另一边 恰好相切，切点为 ，则 ， 就把 三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点 ， ， ， 在同一直线上， ，垂足为点 ， ．
求证： ．
暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身 （次 ，按照方案一所需费用为 （元 ，且 ；按照方案二所需费用为 （元 ，且 ．其函数图象如图所示．
（1）求 和 的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和 的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
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