已知命题:方程有两个不相等的实数根;命题:函数是上的单调增函数.若“或”是真命题,“且”是假命题,求实数的取值范围.
已知函数 f x = a x 3 - 3 2 x 2 + 1 x ∈ R ,其中 a > 0
(Ⅰ)若 a = 1 ,求曲线 y = f x 在点 2 , f 2 处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 - 1 2 , 1 2 上, f x > 0 恒成立,求 a 的取值范围.
如图,在五面体 A B C D E F 中,四边形 A D E F 是正方形, F A ⊥ 平面 A B C D , B C ∥ A D , C D = 1 , A D = 2 2 , ∠ B A D = ∠ C D A = 45 ° .
(Ⅰ)求异面直线 C E 与 A F 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 C D ⊥ 平面 A B F ; (Ⅲ)求二面角 B - E F - A 的正切值。
有编号为 A 1 , A 2 ,… A 10 的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
其中直径在区间 [ 1 . 48 , 1 . 52 ] 内的零件为一等品。
(Ⅰ)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取2个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这2个零件直径相等的概率。
在 △ A B C 中, A C A B = cos B cos C . (Ⅰ)证明 B = C : (Ⅱ)若 cos A =- 1 3 ,求 sin 4 B + π 3 的值。
(本小题满分14分)证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.