已知是椭圆上一点,且点到椭圆的两个焦点距离之和为;(1)求椭圆方程;(2)设为椭圆的左顶点,直线交轴于点,过作斜率为的直线交椭圆于两点,若,求实数的值.
(本小题满分12分)某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.(1)求直方图中的值;(2)如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿,若招生名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(3)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为,求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率).
(本小题满分12分)已知函数满足(1)求实数的值以及函数的最小正周期;(2)记,若函数是偶函数,求实数的值.
(本小题14分)已知函数,(1)当时,求的单调递减区间;(2)这直线是曲线的切线,若的斜率存在最小值,求的值,并求取得最小斜率时切线的方程;(3)已知分别在处取得极值,求证:.
(本小题14分)椭圆的两焦点坐标分别为和,且过点.(1)求椭圆方程;(2)过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点,为椭圆的左顶点.试猜想的大小是否为定值,定值为多少?如果是定值,请证明;如果不是,请说明理由.
(本小题12分)如图所示,一个直径的半圆,过点作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点,使,为半圆上的一个动点,分别在上,且. (1)证明:;(2)证明:面;(3)求三棱锥体积的最大值.