已知向量.（Ⅰ）若求;（Ⅱ）设的三边满足，且边所对应的角为，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知向量.
（Ⅰ）若求;
（Ⅱ）设的三边满足，且边所对应的角为，若关于的方程有且仅有一个实数根，求的值.

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在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y = k |x| + 2$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 2 ρ \cos θ - 3 = 0$ .

（1）求 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（2）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $C_{1}$ 的方程.

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a \ln x$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ ．

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某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$ 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$ 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$ 件产品中恰有 $2$ 件不合格品的概率为 $f (p)$ ,求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

（2）现对一箱产品检验了 $20$ 件，结果恰有 $2$ 件不合格品，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值．已知每件产品的检验费用为 $2$ 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$ 元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $EX$ ;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

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设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2, 0)$ .

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，证明： $∠ OMA = ∠ OMB$ .

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如图，四边形 $ABCD$ 为正方形， $E, F$ 分别为 $AD, BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF ⊥ BF$ .

（1）证明：平面 $PEF ⊥$ 平面 $ABFD$ ；

（2）求 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.

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