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先化简，再求值：

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如图，已知 $⊙ O$ 的半径长为1， $AB$ 、 $AC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $AB = AC$ ， $BO$ 的延长线交 $AC$ 于点 $D$ ，联结 $OA$ 、 $OC$ ．

（1）求证： $ΔOAD ∽ ΔABD$ ；

（2）当 $ΔOCD$ 是直角三角形时，求 $B$ 、 $C$ 两点的距离；

（3）记 $ΔAOB$ 、 $ΔAOD$ 、 $ΔCOD$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，如果 $S_{2}$ 是 $S_{1}$ 和 $S_{3}$ 的比例中项，求 $OD$ 的长．

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已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图），已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (2, 2)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，顶点为 $B$ ．

（1）求这条抛物线的表达式和点 $B$ 的坐标；

（2）点 $M$ 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 $m$ ，联结 $AM$ ，用含 $m$ 的代数式表示 $∠ AMB$ 的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 $C$ 在 $x$ 轴上．原抛物线上一点 $P$ 平移后的对应点为点 $Q$ ，如果 $OP = OQ$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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已知：如图，四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AD = CD$ ， $E$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $EA = EC$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）如果 $BE = BC$ ，且 $∠ CBE : ∠ BCE = 2 : 3$ ，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形．

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甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．

甲公司方案：每月的养护费用 $y$ （元 $)$ 与绿化面积 $x$ （平方米）是一次函数关系，如图所示．

乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．

（1）求如图所示的 $y$ 与 $x$ 的函数解析式：（不要求写出定义域）；

（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

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如图，一座钢结构桥梁的框架是 $ΔABC$ ，水平横梁 $BC$ 长 18 米，中柱 $AD$ 高 6 米，其中 $D$ 是 $BC$ 的中点，且 $AD ⊥ BC$ ．

（1）求 $\sin B$ 的值；

（2）现需要加装支架 $DE$ 、 $EF$ ，其中点 $E$ 在 $AB$ 上， $BE = 2 AE$ ，且 $EF ⊥ BC$ ，垂足为点 $F$ ，求支架 $DE$ 的长．

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