综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 经过坐标原点 ，与抛物线的一个交点为 ，与抛物线的对称轴交于点 ，连接 ，已知点 ， 的坐标分别为 ， ．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 和点 的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点 是 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 ，直线 与直线 交于点 ，试探究：当 为何值时， 是等腰三角形．
综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 沿对角线 剪开，得到 和 ．
操作发现
（1）将图1中的 以 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 ，使 ，得到如图2所示的△ ，分别延长 和 交于点 ，则四边形 的形状是 ；
（2）创新小组将图1中的 以 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 ，使 ，得到如图3所示的△ ，连接 ， ，得到四边形 ，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 ， ，然后提出一个问题：将△ 沿着射线 方向平移 ，得到△ ，连接 ， ，使四边形 恰好为正方形，求 的值，请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的 在同一平面内进行一次平移，得到△ ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 的长度相同，均为 ， 的倾斜角为 ， ，支撑角钢 ， 与底座地基台面接触点分别为 、 ， 垂直于地面， 于点 ．两个底座地基高度相同（即点 ， 到地面的垂直距离相同），均为 ，点 到地面的垂直距离为 ，求支撑角钢 和 的长度各是多少 （结果保留根号）．
我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在 （含 和 的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）
方案 ：每千克5.8元，由基地免费送货．
方案 ：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案 ，方案 购买这种苹果的应付款 （元 与购买量 之间的函数表达式；
（2）求购买量 在什么范围时，选用方案 比方案 付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德 ，公元前 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ， 是 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．下面是运用"截长法"证明 的部分证明过程．证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
是 的中点，
．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ．
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