如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，ADPA2，，E、F

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，，E、F分别是AB、PD的中点.

（Ⅰ）求证：平面PCE 平面PCD；
（Ⅱ）求四面体PEFC的体积．

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从某居民区随机抽取10个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$ （单位：千元）与月储蓄 $y_{i}$ （单位：千元）的数据资料，算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 20, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 184, \sum_{i = 1}^{10} {x_{i}}^{2} = 720$ .（1）求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $y = b x + a$ ；
（2）判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程 $y = b x + a$ 中， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \cdot y}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n x^{2}}, a = y - b x$ ，其中 $x, y$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．

题型：未知
难度：未知

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设数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \in N_{+}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）已知 $\{b_{n}\}$ 是等差数列, $T_{n}$ 为前 $n$ 项和,且 $b_{1} = b_{2}, b_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ,求 $T_{20}$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A, A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于 $y$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两 $P, P `$ ，过 $P, P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．求 $△ P P ` Q$ 的面积 $S$ 的最大值，并写出对应的圆 $Q$ 的标准方程．

题型：未知
难度：未知

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对正整数 $n$ ，记 $I_{n} = {1, 2, 3 . . . n}$ ， $P_{n} = {\frac{m}{\sqrt{k}} | m \in I_{n}, k \in I_{n}}$ ．
（1）求集合 $P_{7}$ 中元素的个数；
（2）若 $P_{n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为"稀疏集"．求 $n$ 的最大值，使 $P_{n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并集．

题型：未知
难度：未知

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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$ 、 $A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$ 、 $P `$ ，过 $P$ 、 $P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q ⊥ P ` Q$ ，求圆 $Q$ 的标准方程．

题型：未知
难度：未知

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