已知椭圆的离心率为，其中左焦点(2,0).（1）求椭圆C的方

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知椭圆的离心率为，其中左焦点(-2,0).
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值.

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设 $P (a, b) (b \neq 0)$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点， $l$ 是经过原点与点 $(1, b)$ 的直线，记 $Q$ 是直线 $l$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p \neq 0)$ 的异于原点的交点
（1）若 $a = 1, b = 2, p = 2$ ，求点 $Q$ 的坐标；
（2）若点 $P (a, b) (a b \neq 0)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上， $p = \frac{1}{2 a b}$ ，求证：点 $Q$ 落在双曲线 $4 x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 上；
（3）若动点 $P (a, b)$ 满足 $a b \neq 0$ ， $p = \frac{1}{2 a b}$ ，若点 $Q$ 始终落在一条关于 $x$ 轴对称的抛物线上，试问动点 $P$ 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

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