设函数。（1）求函数的最小正周期；（2）设函数对任意，有，且

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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设函数。
（1）求函数的最小正周期；
（2）设函数对任意，有，且当时，，求函数在上的解析式．

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + bx$ ,且 $f' (- 1) = 0$

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示b,并求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）令 $a = - 1$ ,设函数 $f (x)$ 在 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 处取得极值，记点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $N (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $P (m, f (m))$ , $x_{1} < m < x_{2}$ ,请仔细观察曲线 $f (x)$ 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（Ⅰ）若对任意的 $m \in (x_{1}, x_{2})$ ，线段MP与曲线 $f (x)$ 均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（Ⅱ）若存在点 $Q (n, f (n))$ , $x \leq n < m$ ,使得线段 $PQ$ 与曲线 $f (x)$ 有异于 $P$ 、 $Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围（不必给出求解过程）

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已知A,B 分别为曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (y \geq 0, a > 0)$ 与x轴的左、右两个交点，直线 $l$ 过点B,且与 $x$ 轴垂直，S为 $l$ 上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧 $\overset{⏜}{AB}$ 的三等分点，试求出点S的坐标；

（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 $a$ ,使得O,M,S三点共线？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由。

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如图，某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 $OSM$ ，该曲线段为函数 $y = A \sin ω x (A > 0, ω > 0)$ ， $x \in [0, 4]$ 的图象，且图象的最高点为 $S (3, 2 \sqrt{3})$ ；赛道的后一部分为折线段 $MNP$ ，为保证参赛运动员的安全，限定 $∠ MNP = 120 °$

（Ⅰ）求A , $ω$ 的值和M，P两点间的距离；

（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段赛道 $MNP$ 最长？

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如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形， $MD ⊥ 平面 ABCD$ ， $NB ⊥ 平面 ABCD$ ，且 $MD = NB = 1$ ， $E$ 为 $BC$ 的中点.

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN上是否存在点S，使得 $ES ⊥ 平面 AMN$ ？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由

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从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $Eξ$

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