（本小题满分12分）记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）
记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求实数的取值范围.

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已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n = 1, 2 . . .$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的 $x > 0$ ， $a_{n} \geq \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} (\frac{2}{3^{n}} - x), n = 1, 2 . . .$ ;
（Ⅲ）证明： $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}$ ．

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（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极大值 $M$ 和极小值 $m$ ，并求 $M - m \geq 1$ 时 $k$ 的取值范围．

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已知抛物线 $C$ ： $y = 2 x^{2}$ ，直线 $y = k x + 2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$ ．
（Ⅰ）证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $A B$ 平行；
（Ⅱ）是否存在实数 $k$ 使 $\overset{⇀}{N A} \cdot \overset{⇀}{N B} = 0$ ,求 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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三棱锥被平行于底面 $A B C$ 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} A = \sqrt{3}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - C C_{1} - B$ 的大小．

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某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得 $1 ~ i$ $(i = 1, 2, 3)$ 分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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