实数为何值时,复数.(1)为实数;(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4)对应点在第二象限.
已知函数 f x = 2 3 x + 1 2 , h x = x . (Ⅰ)设函数 F x = = 18 f x - x 2 h x 2 ,求 F x 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ∈ R ,解关于 x 的方程 l g 3 2 f x - 1 - 3 4 = 2 l g h a - x - 2 l g h 4 - x ; (Ⅲ)设 n ∈ N + ,证明: f n h n - h 1 + h 2 + … + h n ≥ 1 6 .
过点 C ( 0 , 1 ) 的椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 3 2 ,椭圆与 x 轴交于两点 A ( a , 0 ) 、 B ( - a , 0 ) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 A C 与直线 B D 交于点 Q .
(I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 C D 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: O P ⇀ · O Q ⇀
已知 a n 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列, S n 为它的前 n 项和. (Ⅰ)当 S 1 、 S 3 、 S 4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ)当 S m 、 S n 、 S l 成等差数列时,求证:对任意自然数 k , a m + k 、 a n + k 、 a l + k 也成等差数列.
如图,在直三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中, ∠ B A C = 90 ° , A B = A C = A A 1 = 1 ,延长 A 1 C 1 至点 P ,使 C 1 P = A 1 C 1 ,连接 A P 交棱 C C 1 于 D .
(Ⅰ)求证: P B 1 / / 平面 B D A 1 ; (Ⅱ)求二面角 A - A 1 D - B 的平面角的余弦值;
已知函数 f sin x + 7 π 4 + cos x - 3 π 4 , x ∈ R . (Ⅰ)求 f x 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 cos β - α = 4 5 , cos β + α = - 4 5 , 0 < α < β < π 2 . 求证: f β 2 - 2 = 0 .