用甲.乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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用甲.乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表：

原料维生素及价格	甲种原料	乙种原料
维生素C(单位/千克)	600	100
原料价格(元/千克)	8	4

(1)现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式．
(2)如果还要求购买甲.乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x(千克)应满足的另一个不等式吗？

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如图1，在直角坐标系 $xoy$ 中，直线 $l : y = kx + b$ 交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $E$ ， $F$ ，点 $B$ 的坐标是 $(2, 2)$ ，过点 $B$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，垂足为 $A$ 、 $C$ ，点 $D$ 是线段 $CO$ 上的动点，以 $BD$ 为对称轴，作与 $ΔBCD$ 成轴对称的△ $BC' D$ ．

（1）当 $∠ CBD = 15 °$ 时，求点 $C'$ 的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$ 经过点 $A$ ，且 $k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时（如图 $2)$ ，求点 $D$ 由 $C$ 到 $O$ 的运动过程中，线段 $BC'$ 扫过的图形与 $ΔOAF$ 重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$ 经过点 $D$ ， $C'$ 时（如图 $3)$ ，以 $DE$ 为对称轴，作与 $ΔDOE$ 成轴对称的△ $DO' E$ ，连接 $O' C$ ， $O' O$ ，问是否存在点 $D$ ，使得△ $DO' E$ 与△ $CO' O$ 相似？若存在，求出 $k$ 、 $b$ 的值；若不存在，请说明理由．

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（2）性质探究：试探索垂美四边形 $ABCD$ 两组对边 $AB$ ， $CD$ 与 $BC$ ， $AD$ 之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）　　

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

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（2）在同一直角坐标系中画出一次函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 的图象，观察图象写出自变量 $x$ 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．

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为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

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