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(本题满分12分)
如图，在三棱柱
中，
侧面
底面
,侧棱
与底面成
的角，
，底面是边长为2的正三角形，其重心为
点，
是线段
上一点，且
．
求证：
;
求平面
与底面所成锐二面角的余弦值．
(本题满分12分)
“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
 |
0．10 |
0．05 |
0．010 |
0．005 |
 |
2．706 |
3．841 |
6．635 |
7．879 |
现计划在这次场外调查中按年龄段选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：
其中
）
中，已知角
的对边分别为
，且
，求
的值；
的取值范围．
轴上，且过点
.
，与圆
相切且与抛物线交于不同的两点
，当
为直角时，求△OMN的面积。
.
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