将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.

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在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0$ ，且对任意 $k \in N^{+}, a_{2 k - 1}, a_{2 k}, a_{2 k + 1}$ 成等差数列，其公差为 $d_{k}$ .
（Ⅰ）若 $d_{k} = 2 k$ ，证明 $a_{2 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}$ 成等比数列（ $k \in N^{+}$ ）
（Ⅱ）若对任意 $k \in N^{+}$ ， $a_{2 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}$ 成等比数列，其公比为 $q_{k}$ .证明：对任意 $n \geq 2, n \in N^{+}$ ,有 $\frac{3}{2} < 2 n - \sum_{k = 2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}} \leq 2$

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = x c^{- x} (x \in R)$ .

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 $y = g (x)$ 的图象与函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，证明当 $x > 1$ 时， $f (x) > g (x)$

（Ⅲ）如果 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明 $x_{1} + x_{2} > 2$

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值

题型：未知
难度：未知

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如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 上的点， $C F = A B = 2 C E, A B : A D : A A_{1} = 1 : 2 : 4$ .

（1）求异面直线 $E F$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值；
（2）证明 $A F ⊥$ 平面 $A_{1} E D$ ;

（3）求二面角 $A_{1} - E D - F$ 的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记 $ξ$ 为射手射击3次后的总的分数，求 $ξ$ 的分布列。

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