(本小题满分12分)已知,函数,时,,求常数,的值.
(本小题满分13分)已知点为抛物线: 的焦点,为抛物线上的点,且.(Ⅰ)求抛物线的方程和点的坐标;(Ⅱ)过点引出斜率分别为的两直线,与抛物线的另一交点为,与抛物线的另一交点为,记直线的斜率为.(ⅰ)若,试求的值;(ⅱ)证明:为定值.
(本小题满分13分)如图1,在等腰梯形中,,,,为上一点, ,且.将梯形沿折成直二面角,如图2所示.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)设点关于点的对称点为,点在所在平面内,且直线与平面所成的角为,试求出点到点的最短距离.
(本小题满分13分)甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为(cm),相关行业质检部门规定:若,则该零件为优等品;若,则该零件为中等品;其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据:
(Ⅰ)设生产每件产品的利润为:优等品3元,中等品1元,次品亏本1元. 若将频率视为概率,试根据样本估计总体的思想,估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望;(Ⅱ)对于这两台机床生产的零件,在排除其它因素影响的情况下,试根据样本估计总体的思想,估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”,并说明理由.参考公式:.参考数据:
(本小题满分13分)已知分别在射线(不含端点)上运动,,在中,角、、所对的边分别是、、.(Ⅰ)若、、依次成等差数列,且公差为2.求的值;(Ⅱ)若,,试用表示的周长,并求周长的最大值.
本题满分分 已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-3ax+1,a>0. (Ⅰ) 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1; (Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.