将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为32

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将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.

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如图，点 $P$ 为抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上一动点．

（1）若抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 是由抛物线 $y = \frac{1}{4} {(x + 2)}^{2} - 1$ 通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线 $l$ 经过 $y$ 轴上一点 $N$ ，且平行于 $x$ 轴，点 $N$ 的坐标为 $(0, - 1)$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ l$ 于 $M$ ．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 $F$ ，使得 $PM = PF$ 恒成立？若存在，求出点 $F$ 的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点 $Q$ 的坐标为 $(1, 5)$ ，求 $QP + PF$ 的最小值．

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如图， $AB$ 是以 $O$ 为圆心的半圆的直径，半径 $CO ⊥ AO$ ，点 $M$ 是 $\hat{AB}$ 上的动点，且不与点 $A$ 、 $C$ 、 $B$ 重合，直线 $AM$ 交直线 $OC$ 于点 $D$ ，连接 $OM$ 与 $CM$ ．

（1）若半圆的半径为10．

①当 $∠ AOM = 60 °$ 时，求 $DM$ 的长；

②当 $AM = 12$ 时，求 $DM$ 的长．

（2）探究：在点 $M$ 运动的过程中， $∠ DMC$ 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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如图，点 $M$ 在函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点 $M$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线交函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $B$ 、 $C$ ．

（1）若点 $M$ 的坐标为 $(1, 3)$ ．

①求 $B$ 、 $C$ 两点的坐标；

②求直线 $BC$ 的解析式；

（2）求 $ΔBMC$ 的面积．

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湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

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如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AF = BE$ ， $AE$ 与 $DF$ 相交于点 $O$ ．

（1）求证： $ΔDAF ≅ ΔABE$ ；

（2）求 $∠ AOD$ 的度数．

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