如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.