某地区为响应上级号召,在2011年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后,该地区的廉价住房为y万平方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y=f(x)的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?
双曲线 x 2 - y 2 b 2 = 1 ( b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ,直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A , B 两点.
(1)直线 l 的倾斜角为 π 2 ,△ F 1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设 b = 3 ,若 l 的斜率存在,且 ( F 1 A ⃗ + F 1 B ⃗ ) · AB ⃗ = 0 ,求 l 的斜率.
有一块正方形 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域 S 1 和 S 2 ,其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近, S 2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为 ( 1 , 0 ) ,如图
(1)求菜地内的分界线 C 的方程;
(2)菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍,由此得到 S 1 面积的经验值为 8 3 .设 M 是 C 上纵坐标为1的点,请计算以 EH 为一边,另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 S 1 面积的“经验值”.
将边长为1的正方形 A A 1 O 1 O (及其内部)绕 O O 1 旋转一周形成圆柱,如图, AC ̂ 长为 2 3 π , A 1 B 1 ̂ 长为 π 3 ,其中 B 1 与 C 在平面 A A 1 O 1 O 的同侧.
(1)求三棱锥 C - O 1 A 1 B 1 的体积;
(2)求异面直线 B 1 C 与 A A 1 所成的角的大小.
已知函数 f ( x ) = | 2 x - a | + a .
(1)当 a = 2 时,求不等式 f ( x ) ⩽ 6 的解集;
(2)设函数 g ( x ) = | 2 x - 1 | ,当 x ∈ R 时, f ( x ) + g ( x ) ⩾ 3 ,求 a 的取值范围.
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 x = 3 cos α y = sin α ( α 为参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ sin ( θ + π 4 ) = 2 2 .
(1)写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程;
(2)设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求 | PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标.