如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）
（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？
（取）

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某校开设了“ $3 D$ ”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．

校本课程	频数	频率
$A$	36	0.45
$B$		0.25
$C$	16	$b$
$D$	8
合计	$a$	1

请您根据图表中提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的 $a =$ 　， $b =$ 　　；

（2）“ $D$ ”对应扇形的圆心角为　　度；

（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；

（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“ $A$ ”、“ $B$ ”、“ $C$ ”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

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如图 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $BP$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点，分别连接 $CB$ 、 $CD$ ， $∠ BCD = 60 °$ ．

（1）求 $∠ ABD$ 的度数；

（2）若 $AB = 6$ ，求 $PD$ 的长度．

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本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下：

地点	票价
历史博物馆	10元 $/$ 人
民俗展览馆	20元 $/$ 人

（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？

（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？

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如图，在 $▱ ABCD$ 中，连接 $BD$ ， $E$ 是 $DA$ 延长线上的点， $F$ 是 $BC$ 延长线上的点，且 $AE = CF$ ，连接 $EF$ 交 $BD$ 于点 $O$ ．求证： $OB = OD$ ．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B (- 5, 0)$ 和点 $C (1, 0)$ ，过点 $A$ 作 $AD / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$ 是抛物线上一点，且点 $E$ 关于 $x$ 轴的对称点在直线 $AD$ 上，求 $ΔEAD$ 的面积；

（3）若点 $P$ 是直线 $AB$ 下方的抛物线上一动点，当点 $P$ 运动到某一位置时， $ΔABP$ 的面积最大，求出此时点 $P$ 的坐标和 $ΔABP$ 的最大面积．

题型：未知
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