已知:(其中是自然对数的底数),求证:.

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已知: (其中是自然对数的底数),
求证:.

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已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

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已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．

（1）当 $a = e$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

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如图，四棱锥 P- ABCD的底面为正方形， PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD与平面 PBC的交线为 l．

（1）证明： l⊥平面 PDC；

（2）已知 PD= AD=1， Q为 l上的点，求 PB与平面 QCD所成角的正弦值的最大值．

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为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 $100$ 天空气中的 $PM 2 . 5$ 和 $S O_{2}$ 浓度（单位： $μ g/ m^{3}$ ），得下表：

（1）估计事件"该市一天空气中 $PM 2 . 5$ 浓度不超过 $75$ ，且 $S O_{2}$ 浓度不超过 $150$ "的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

$S O_{2}$

$PM 2 . 5$

$[0, 150]$

$(150, 475]$

$[0, 75]$

$(75, 115]$

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 $99 %$ 的把握认为该市一天空气中 $PM 2 . 5$ 浓度与 $S O_{2}$ 浓度有关？

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} > K)$	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

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已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）记 $b_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 ${b_{m}}$ 的前 $100$ 项和 $S_{100}$ ．

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