已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点.
（1）线段AF与BE有何关系？说明理由；
（2）延长AF、BC交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上？说明理由.
在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位： ，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图1中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为 的运动员能否进入复赛．
解不等式 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
综合与探究
如图，抛物线经过点
，
两点，与
轴交于点
，点
是抛物线上一个动点，设点
的横坐标为
．连接
，
，
，
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）的面积等于
的面积的
时，求
的值；
（3）在（2）的条件下，若点是
轴上一动点，点
是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点
，使得以点
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
综合与实践
动手操作：
第一步：如图1，正方形纸片沿对角线
所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点
的直线折叠，使点
，点
都落在对角线
上．此时，点
与点
重合，记为点
，且点
，点
，点
三点在同一条直线上，折痕分别为
，
．如图2．
第二步：再沿所在的直线折叠，
与
重合，得到图3．
第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点
重合，如图4，展开铺平，连接
，
，
，
．如图5，图中的虚线为折痕．
问题解决：
（1）在图5中，的度数是 ，
的值是 ．
（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德欧拉
是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在
中，
和
分别为外接圆和内切圆的半径，
和
分别为其中外心和内心，则
．
如图1，和
分别是
的外接圆和内切圆，
与
相切分于点
，设
的半径为
，
的半径为
，外心
（三角形三边垂直平分线的交点）与内心
（三角形三条角平分线的交点）之间的距离
，则有
．
下面是该定理的证明过程（部分）
延长交
于点
，过点
作
的直径
，连接
，
．
，
（同弧所对的圆周角相等）．
．
，
，①
如图2，在图1（隐去，
的基础上作
的直径
，连接
，
，
，
．
是
的直径，所以
．
与
相切于点
，所以
，
．
（同弧所对的圆周角相等），
，
．
②
任务：（1）观察发现：，
（用含
，
的代数式表示）；
（2）请判断和
的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若的外接圆的半径为
，内切圆的半径为
，则
的外心与内心之间的距离为
．
粤公网安备 44130202000953号