由下列不等式：,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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由下列不等式：
,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

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设函数 $f (x) = a x - (1 + a) x^{2}$ ，其中 $a > 0$ ，区间 $I = \{x | f (x) > 0\}$

（Ⅰ）求 $I$ 的长度（注：区间 $(α, β)$ 的长度定义为 $β - α$ ）；
（Ⅱ）给定常数 $k \in (0, 1)$ ，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

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已知函数 $f (x) = 4 \cos ω x \cdot \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；
（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调性.

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已知 $\{a_{n}\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第n项之后各项 $a_{n + 1}$ ， $a_{n + 2}$ …的最小值记为 $B_{n}$ ， $d_{n} = A_{n} - B_{n}$ .
(1)若 $\{a_{n}\}$ 为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 4} = a_{n}$ )，写出 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ， $d_{4}$ 的值；
(2)设d为非负整数，证明： $d_{n} = - d$ ( $n = 1, 2, 3 \dots$ )的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；
(3)证明：若 $a_{1} = 2$ ， $d_{n} = 1 (n = 1, 2, 3 \dots)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

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已知 $A, B, C$ 是椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的三个点， $O$ 是坐标原点.
(I)当点 $B$ 是 $W$ 的右顶点，且四边形 $O A B C$ 为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，判断四边形 $O A B C$ 是否可能为菱形，并说明理由.

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设 $l$ 为曲线 $C : y = \frac{\ln x}{x}$ 在点(1,0)处的切线.
(I)求 $l$ 的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方.

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