在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

[广西]2011年广西省南宁市新民学校九年级上学期月考数学试卷

上一题下一题

在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．

（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

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2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） $:$

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	8.5	8.5
中位数	$a$	9
众数	8	$b$
优秀率	$45 %$	$55 %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

题型：未知
难度：未知

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计算：

（1） $a (2 a + 3 b) + {(a - b)}^{2}$ ；

（2） $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x + 1} \div (x + \frac{3 - x^{2}}{x + 1})$ ．

题型：未知
难度：未知

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在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AE$ 的位置，使得 $∠ DAE + ∠ BAC = 180 °$ ．

（1）如图1，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，连接 $BE$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．若 $BE$ 平分 $∠ ABC$ ， $BD = 2$ ，求 $AF$ 的长；

（2）如图2，连接 $BE$ ，取 $BE$ 的中点 $G$ ，连接 $AG$ ．猜想 $AG$ 与 $CD$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $DG$ ， $CE$ ．若 $∠ BAC = 120 °$ ，当 $BD > CD$ ， $∠ AEC = 150 °$ 时，请直接写出 $\frac{BD - DG}{CE}$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $A (0, - 1)$ ， $B (4, 1)$ ．直线 $AB$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $AB$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $PD ⊥ AB$ ，垂足为 $D$ ， $PE / / x$ 轴，交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $ΔPDE$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $ΔPDE$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．

题型：未知
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如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为"合和数"，并把数 $M$ 分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为"合分解"．

例如 $∵ 609 = 21 \times 29$ ，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

$∴ 609$ 是"合和数"．

又如 $∵ 234 = 18 \times 13$ ，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，

$∴ 234$ 不是"合和数"．

（1）判断168，621是否是"合和数"？并说明理由；

（2）把一个四位"合和数" $M$ 进行"合分解"，即 $M = A \times B$ ． $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的和记为 $P (M)$ ； $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的差的绝对值记为 $Q (M)$ ．令 $G (M) = \frac{P (M)}{Q (M)}$ ，当 $G (M)$ 能被4整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

题型：未知
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