如图，两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从岛出发，以

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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如图，

两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从岛出发，以10海里/小时的速度沿
北偏东75°方向直线航行，下午1时到达处.然后以同样的速度，沿北偏东 15°方向直线航
行，下午4时到达岛.
（Ⅰ）求、两岛之间的直线距离；
（Ⅱ）求的正弦值.

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（本小题满分12分）
某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及．

题型：未知
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已知△的周长为，且．
　（Ⅰ）求边长的值；
　（Ⅱ）若（结果用反三角函数值表示）．

题型：未知
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如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .点 $P$ 为直线 $l$ ： $x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点,直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ . $O$ 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}, P F_{2}$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（ⅰ）证明： $\frac{1}{k_{1}} - \frac{3}{k_{2}} = 2$

（ⅱ)问直线 $l$ 上是否存在一点 $P$ ,使直线 $O A, O B, O C, O D$ 的斜率 $k_{O A}, k_{O B}, k_{O C}, k_{O D}$ 满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D = 0}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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已知函数 $f (x) = \ln x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R)$

(Ⅰ)当 $当 a = - 1 时，求曲线 y = f (x) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程$

(Ⅱ)当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性.

题型：未知
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在如图所示的几何体中,四边形 $A B C D$ 是正方形, $M A$ $⊥$ 平面 $A B C D$ , $P D ∥ M A, E 、 G 、 F$ 分别为 $M B 、 P B 、 P C$ 的中点,且 $A D = P D = 2 M A$ .

(Ⅰ)求证:平面 $E F G ⊥$ 平面 $P D C$ ;
(Ⅱ)求三棱锥 $P - M A B$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比.

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