（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，

，，，平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若是的中点，求三棱锥的体积．

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（1）已知两个等比数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，满足 $a_{1} = a (a > 0), b_{1} - a_{1} = 1, b_{2} - a_{2} = 2, b_{3} - a_{3} = 3$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，使得 $b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3}, b_{4} - a_{4}$ 成公差不为的等差数列？若存在，求 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．

题型：未知
难度：未知

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设 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x + n x$ .
（1）如果 $g (x) = f^{`} (x) - 2 x - 3$ 在 $x = - 2$ 处取得最小值 $- 5$ ，求 $f (x)$ 的解析式；
（2）如果 $m + n < 10 (m, n \in N_{+})$ ， $F (x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$ 的值．(注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b - a$ ）

题型：未知
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已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点,斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{2}), B (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ 两点，且 $|A B| = 9$ ．
（1）求该抛物线的方程；
（2） $O$ 为坐标原点, $C$ 为抛物线上一点,若 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + λ \overset{⇀}{O B}$ ,求 $λ$ 的值．

题型：未知
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如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ , $A B = B C = 2$ , $P$ 为 $A B$ 边上一动点， $P D / / B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ,现将 $△ P D A$ 沿 $P D$ 翻折至 $△ P D A `$ ,使平面 $P D A ` ⊥ 平面 P B C D$ .

（1）当棱锥 $A ` - P B C D$ 的体积最大时，求 $P A$ 的长；
（2）若点 $P$ 为 $A B$ 的中点，E为 $A C `$ 的中点，求证： $A ` B ⊥ D E$ .

题型：未知
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在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $3 a \cos A = c \cos B + b \cos C$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
(2)若 $a = 1, \cos B + \cos C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边 $c$ 的值．

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