椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1，F2在x轴上，抛物

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F₁，F₂在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F₂，椭圆M与抛物线N的一个交点为A（3，）．

（I）求椭圆M与抛物线N的方程；
（Ⅱ）在抛物线N位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B，使得△AF₁B的外接圆圆心在x轴上？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由．

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(本小题满分12分)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．（Ⅰ）求此公司决定对该项目投资的概率（Ⅱ）求此公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率。

题型：未知
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（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.

（1）求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（2）求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.

题型：未知
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如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 四边长为1的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ , $O A ⊥$ 底面 $A B C D$ , $O A = 2$ , $M$ 为 $O A$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点.

（Ⅰ）证明：直线 $M N / /$ 平面 $O C D$ ；
（Ⅱ）求异面直线 $A B$ 与 $M D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 $B$ 到平面 $O C D$ 的距离.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \sin (x + \frac{π}{4})$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上的值域

题型：未知
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设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (\sqrt{2}, 1)$ ，且左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）当过点 $P (4, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交与两不同点 $A, B$ 时，在线段 $A B$ 上取点 $Q$ ，满足 $|\overset{⇀}{A P}| = |\overset{⇀}{Q B}| = |\overset{⇀}{A Q}| = |\overset{⇀}{P B}|$ ，证明：点 $Q$ 总在某定直线上.

题型：未知
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