(本小题满分13分)平地上有一条水渠,其横断面是一段抛物线弧,如图,已知渠宽为,渠深为6。(1)若渠中水深为4,求水面的宽,并计算水渠横断面上的过水面积;(2)为了增大水渠的过水量,现要把这条水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽。
已知函数有最小值. (Ⅰ)求实数的取值范围; (Ⅱ)设为定义在上的奇函数,且时,,求的解析式.
在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,面,,,分别为,的中点. (Ⅰ)求证:面; (Ⅱ)求点到面的距离.
若函数,的定义域都是集合,函数和的值域分别为和. (Ⅰ)若,求; (Ⅱ)若,且,求实数m的值.
已知椭圆,椭圆的右焦点为F. (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)求以M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线方程. (3)过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于A,B,求弦 AB的中点P的轨迹方程.
已知正四棱柱中,. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求钝二面角的余弦值; (Ⅲ)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,求出的值;若不存在, 请说明理由.