在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图)：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB.则△ABD就是直角三角形.

(1)请你说明工人师傅可以这么做直角三角形的理由；
(2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°
(不写作法，保留作图痕迹).

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如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 在 $AC$ 上，且 $AF = CE$ ．求证：四边形 $BEDF$ 是菱形．

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某校计划成立下列学生社团．

社团名称	文学社	动漫创作社	合唱团	生物实验小组	英语俱乐部
社团代号	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$

为了解该校学生对上述社团的喜爱情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必须选一个且只能选一个学生社团）．根据统计数据，绘制了如图条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

（1）该校此次共抽查了　　名学生；

（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

（3）若该校共有1000名学生，请根据此次调查结果，试估计该校有多少名学生喜爱英语俱乐部？

（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校有多少名学生喜爱英语俱乐部．

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先化简，再求值： $\frac{x - 2}{x} \div (x - \frac{4}{x})$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 2$ ．

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计算： ${(- 2)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{9}$ ．

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在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $OA$ 交二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图象于点 $A$ ， $∠ AOB = 90 °$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0, m)$ （其中 $m > 0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $OA$ 于点 $M$ ，交直线 $OB$ 于点 $N$ ，以线段 $OM$ 、 $ON$ 为邻边作矩形 $OMPN$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m = 2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $OA$ 的函数表达式．

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