某旅游公司拟在暑假期间面向学生推出“杭州一日游”活动,收费标准如下:甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动。已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20 800元,若两校联合组团只需花费18 000元。(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
已知点 O 是线段 AB 的中点,点 P 是直线 l 上的任意一点,分别过点 A 和点 B 作直线 l 的垂线,垂足分别为点 C 和点 D .我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距".
(1) [ 猜想验证 ] 如图1,当点 P 与点 O 重合时,请你猜想、验证后直接写出"足中距" OC 和 OD 的数量关系是 .
(2) [ 探究证明 ] 如图2,当点 P 是线段 AB 上的任意一点时,"足中距" OC 和 OD 的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) [ 拓展延伸 ] 如图3,①当点 P 是线段 BA 延长线上的任意一点时,"足中距" OC 和 OD 的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
②若 ∠ COD = 60 ° ,请直接写出线段 AC 、 BD 、 OC 之间的数量关系.
如图,抛物线 y = − 1 2 x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C ,直线 y = − 1 2 x + 2 过 B 、 C 两点,连接 AC .
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证: ΔAOC ∽ ΔACB ;
(3)点 M ( 3 , 2 ) 是抛物线上的一点,点 D 为抛物线上位于直线 BC 上方的一点,过点 D 作 DE ⊥ x 轴交直线 BC 于点 E ,点 P 为抛物线对称轴上一动点,当线段 DE 的长度最大时,求 PD + PM 的最小值.
如图所示,直线 y = k 1 x + b 与双曲线 y = k 2 x 交于 A 、 B 两点,已知点 B 的纵坐标为 − 3 ,直线 AB 与 x 轴交于点 C ,与 y 轴交于点 D ( 0 , − 2 ) , OA = 5 , tan ∠ AOC = 1 2 .
(1)求直线 AB 的解析式;
(2)若点 P 是第二象限内反比例函数图象上的一点, ΔOCP 的面积是 ΔODB 的面积的2倍,求点 P 的坐标;
(3)直接写出不等式 k 1 x + b ⩽ k 2 x 的解集.
“杂交水稻之父” − − 袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率;
(2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.
如图,以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画圆,交 AC 于点 D , DF ⊥ AB 于点 F ,连接 OF ,且 AF = 1 .
(1)求证: DF 是 ⊙ O 的切线;
(2)求线段 OF 的长度.