已知一抛物线经过（0，0），（1，1）两点，且解析式的二次项系数为
（＞0）.
当时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
已知点（0，1），若抛物线与射线相交于点，与轴相交于点（异于原点），当在什么范围内取值时，的值为常数？当在什么范围内取值时，的值为常数？
若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点.将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由.