(本小题满分13分)若的展开式的二项式系数和为128,(1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求的值.
(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点为,、是椭圆的左、右顶点,是椭圆上异于、的动点,且面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在一定点(),使得当过点的直线与曲线相交于,两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.下面临界值表仅供参考:
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(本小题满分12分)如图所示,在长方体中,,(),、分别是和的中点,且平面.(1)求的值;(2)求二面角的余弦值.
(本小题满分12分)已知各项不为零的数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,求数列的前项和.
(本小题满分12分)某电视台有一档综艺节目,其中有一个抢答环节,有甲、乙两位选手进行抢答,规则如下:若选手抢到答题权,答对得20分,答错或不答则送给对手10分。已知甲、乙两位选手抢到答题权的概率均相同,且每道题是否答对的机会是均等的, 若比赛进行两轮.(1)求甲抢到1题的概率;(2)求甲得到10分的概率.