设抛物线C:x22pyp<0的焦点为F,准线为l,A∈C,已_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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设抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ,准线为 $l$ , $A \in C$ ,已知以 $F$ 为圆心, $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B, D$ 两点；
（1）若 $∠ B F D = 90^{°}$ , $∆ A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ；求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点,求坐标原点到 $m, n$ 距离的比值.

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设数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n}, n \in N_{+}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）已知 $\{b_{n}\}$ 是等差数列, $T_{n}$ 为前 $n$ 项和,且 $b_{1} = b_{2}, b_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ,求 $T_{20}$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A, A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于 $y$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两 $P, P `$ ，过 $P, P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．求 $△ P P ` Q$ 的面积 $S$ 的最大值，并写出对应的圆 $Q$ 的标准方程．

题型：未知
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对正整数 $n$ ，记 $I_{n} = {1, 2, 3 . . . n}$ ， $P_{n} = {\frac{m}{\sqrt{k}} | m \in I_{n}, k \in I_{n}}$ ．
（1）求集合 $P_{7}$ 中元素的个数；
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题型：未知
难度：未知

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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$ 、 $A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$ 、 $P `$ ，过 $P$ 、 $P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q ⊥ P ` Q$ ，求圆 $Q$ 的标准方程．

题型：未知
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在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + b^{2} + \sqrt{2} a b = c^{2}$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）设 $\cos A \cos B = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $\frac{\cos (α + A) \cos (α + B)}{\cos^{2} α} = \frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求 $\tan α$ 的值．

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