设函数 $f\left(x\right)=A\sin (\omega x+\phi )$（其中 $A>0,\omega >0,-\pi <\phi <\pi$）在 $x=\frac{\pi }{6}$处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为 $\frac{\pi }{2}$.

（I）求 $f\left(x\right)$的解析式；

（II）求函数 $g\left(x\right)=\frac{6{\cos }^{4}x-{\sin }^{2}x-1}{f(x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})}$的值域.