(本小题满分14分)已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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(本小题满分14分)
已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.
(1) 函数是否属于集合？说明理由;
(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.
（3）若函数，求实数的取值范围.

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如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, M, N$ 分别是棱 $A B, A D, A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上移动，且 $D P = B Q = λ (0 < λ < 2)$ .

(1)当 $λ = 1$ 时，证明：直线 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$ ；

(2)是否存在 $λ$ ，使平面 $E F P Q$ 与面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

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难度：未知

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} = 2$ ,且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ .

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} > 60 n + 800 ?$ 若存在,求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由.

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某实验室一天的温度（单位： $^{°} C$ ）随时间 $t$ （单位： $h$ ）的变化近似满足函数关系；
$f (t) = 10 - \sqrt{3} \cos \frac{π}{12} t - \sin \frac{π}{12} t, t \in [0, 24]$ .
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11 $^{°} C$ ，则在哪段时间实验室需要降温？

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设 $f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数，且 $f (x) > 0$ ，对任意 $a > 0, b > 0$ ，若经过点 $(a, f (a))$ ， $(b, - f (b))$ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $(c, 0)$ ，则称 $c$ 为 $a, b$ 关于函数 $f (x)$ 的平均数，记为 $M_{f} (a, b)$ ，例如，当 $f (x) = 1 (x > 0)$ 时，可得 $M_{f} (a, b) = c = \frac{a + b}{2}$ ，即 $M_{f} (a, b)$ 为 $a, b$ 的算术平均数.
当 $f (x) =$ ( $x > 0$ )时， $M_{f} (a, b)$ 为 $a, b$ 的几何平均数；
当 $f (x) =$ ( $x > 0$ )时， $M_{f} (a, b)$ 为 $a, b$ 的调和平均数 $\frac{2 a b}{a + b}$ ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

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函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + a} (a > 1)$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \ln (a_{n} + 1)$ ，证明： $\frac{2}{n + 2} < a_{n} < \frac{3}{n + 2}$ .

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