已知 $a$为正实数， $n$为自然数，抛物线 $y=-x^2+\frac{a^n}{2}$与 $x$轴正半轴相交于点 $A$，设 $f\left(n\right)$为该抛物线在点 $A$处的切线在 $y$轴上的截距。
（Ⅰ）用 $a$和 $n$表示；
（Ⅱ）求对所有 $n$都有 $\frac{f\left(n\right)-1}{f\left(n\right)+1}\ge \frac{n}{n+1}$成立的 $a$的最小值；
（Ⅲ）当 $0<a<1$时，比较 $\frac{1}{f\left(1\right)-f\left(2\right)}+\frac{1}{f\left(2\right)-f\left(4\right)}+\dots +\frac{1}{f\left(n\right)-f\left(2n\right)}$与 $6·\frac{f\left(1\right)-f\left(n+1\right)}{f\left(0\right)-f\left(1\right)}$的大小，并说明理由。