如图，动点 M 与两定点 A - 1 , 0 、 B 1 , 0 构成 △ M A B ，且直线 M A , M B 的斜率之积为4，设动点 M 的轨迹为 C 。
（Ⅰ）求轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设直线 y = x + m m > 0 与 y 轴交于点 P ，与轨迹 C 相交于点 Q , R ，且 P Q < P R ，求 P R P Q 的取值范围。
已经函数 f x = cos 2 x - sin 2 x 2 , g x = 1 2 sin 2 x - 1 4
(Ⅰ)函数 f x 的图象可由函数 g x 的图象经过怎样变化得出？ (Ⅱ)求函数 h x = f x - g x 的最小值，并求使用 h x 取得最小值的 x 的集合。
已知函数 f ( x ) = a x + b x + c ( a > 0 ) 的图象在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程为 y = x - 1 .
(I)用 a 表示出 b , c ;
(II)若 f ( x ) ≥ ln x 在 [ 1 , + ∞ ) 上恒成立，求 a 的取值范围；
(III)证明： 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n > ln ( n + 1 ) + n 2 ( n + 1 ) ( n ≥ 1 ) .
已知数列 { a n } 满足： a 1 = 1 2 ， 3 ( 1 + a n + 1 ) 1 - a n = 2 ( 1 + a n ) 1 - a n + 1 , a n a n + 1 ＜ 0 （ n ≥ 1 ） ；数列 { b n } 满足： b n = a n + 1 2 - a n 2 （ n ≥ 1 ） .
（1）求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式；
（2）证明：数列 { b n } 中的任意三项不可能成等差数列。
如图，在四面体 A B O C 中, O C ⊥ O A , O C ⊥ O B , ∠ A O B = 120 ° , 且 O A = O B = O C = 1 .
（Ⅰ）设为 P 为 A C 的中点，证明：在 A B 上存在一点 Q ，使 P Q ⊥ O A ，并计算 A B A Q 的值； （Ⅱ）求二面角 O - A C - B 的平面角的余弦值.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度 x （单位： c m ）满足关系： C x = k 3 x + 5 0 ≤ x ≤ 10 .若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求 k 的值及 f x 的表达式。 （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f x 达到最小，并求最小值。
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