如图,动点 M 与两定点 A - 1 , 0 、 B 1 , 0 构成 △ M A B ,且直线 M A , M B 的斜率之积为4,设动点 M 的轨迹为 C 。
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y = x + m m > 0 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q , R ,且 P Q < P R ,求 P R P Q 的取值范围。
(本小题满分14分)已知函数,其中 (Ⅰ)求在上的单调区间; (Ⅱ)求在(为自然对数的底数)上的最大值; (III)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点、,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?
(本大题满分14分) 已知△的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于. (Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线; (Ⅱ)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合).求证直线与轴的交点为定点,并求出该定点的坐标.
(本小题满分13分)如图所示,四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是棱上的动点. (Ⅰ)若是的中点,求证://平面; (Ⅱ)若,求证:; (III)在(Ⅱ)的条件下,若,求四棱锥的体积.
(本小题满分12分)在等差数列中,,. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列是首项为,公比为的等比数列,求的前项和.
(本小题满分12分)已知A、B、C为的三个内角且向量共线。 (Ⅰ)求角C的大小: (Ⅱ)设角的对边分别是,且满足,试判断的形状.