函数 $f\left(x\right)=6{\cos }^2\frac{\omega x}{2}+\sqrt{3}\cos \omega x-3\left(\omega >0\right)$在一个周期内的图象如图所示， $A$为图象的最高点， $B$、 $C$为图象与 $x$轴的交点，且 $△ABC$为正三角形。

（Ⅰ）求 $\omega$的值及函数 $f\left(x\right)$的值域；
（Ⅱ）若 $f\left(x_0\right)=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且 $x_0\in \left(-\frac{10}{3},\frac{2}{3}\right)$，求 $f\left(x_0+1\right)$的值。