在平面直角坐标系 $xOy$中，已知双曲线 $C_1:2x^2-y^2=1$.
（1）过 $C_1$的左顶点引 $C_1$的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线 $l$交 $C_1$于 $P$. $Q$两点，若 $l$与圆 $x^2+y^2=1$相切，求证： $OP\perp OQ$；
（3）设椭圆 $C_2:4x^2+y^2=1$. 若 $M,N$分别是 $C_1$、 $C_2$上的动点，且 $OM\perp ON$，求证： $O$到直线 $MN$的距离是定值.