《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 ， 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 ， 两点间的距离为10步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 ， ， 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ， 是 的中点，
（填推理的依据）．
直线 表示的方向为东西方向，
直线 表示的方向为南北方向．
△ABC为等边三角形， ， 于点D，E为线段 上一点， ．以AE为边在直线 右侧构造等边三角形 ，连接 ，N为 的中点．
（1）如图1， 交于点G，连接 ，求线段 的长；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接 ， ．当 时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在 绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 的面积．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与x轴交于 两点（点 在点 的左侧），且 点坐标为 ，直线 的解析式为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 作 ，交抛物线于点D，点E为直线 上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线 向左平移 个单位，已知点 为抛物线 的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 的面积最大时，是否存在以 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 ， 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 、 两个品种各种植了10亩．收获后 、 两个品种的售价均为 元/kg，且 品种的平均亩产量比A品种高100千克， 、 两个品种全部售出后总收入为 元．
（1）求 、 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 ，而A品种的售价保持不变， 、 两个品种全部售出后总收入将增加 ．求a的值．
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