甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球,甲箱中有2个红球和2个黑球,乙箱中装有2个黑球和3个红球,现从甲箱和乙箱中各取一个小球并且交换。(1)求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率。(2)设交换后甲箱中黑球的个数为,求的分布列和数学期望。
(本小题满分10分) 已知函数. (1)当时,求函数的定义域; (2)若关于的不等式的解集是,求的取值范围.
(本小题满分10分) 如图,的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为上一点,,交于点,且. (1)求的长度; (2)若圆与圆内切,直线与圆切于点,求线段的长度.
(本小题满分12分) 已知,,直线. (1)函数在处的切线与直线平行,求实数的值; (2)若至少存在一个使成立,求实数的取值范围; (3)设,当时的图象恒在直线的上方,求的最大值.
(本题小满分12分) 如图,直三棱柱中,,分别是,的中点,. (1)证明:平面; (2)求异面直线和所成角的大小; (3)当时,求三棱锥的体积.
(本小题满分12分) 已知等比数列的公比,且,,成等差数列.数列的前项和为,且. (1)分别求出数列和数列的通项公式; (2)设,若,对于恒成立,求实数的最小值.