在△中，已知、，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）设，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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在△中，已知、，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设，，过点作直线垂直于，且与直线交于点，试在轴上确定一点，使得；
（3）在（II）的条件下，设点关于轴的对称点为，求的值.

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如图，从 $A_{1}$ （1,0,0）， $A_{2}$ （2,0,0）， $B_{1}$ （0，2，0）， $B_{2}$ （0,2,0）， $C_{1}$ （0,0,1）， $C_{2}$ （0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点 $O$ 两两相连构成一个"立体"，记该"立体"的体积为随机变量 $V$ （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时"立体"的体积 $V = 0$ ）。

（1）求 $V = 0$ 的概率；
（2）求 $V$ 的分布列及数学期望。

题型：未知
难度：未知

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知， $A = \frac{π}{4}, b \sin (\frac{π}{4} + C) - c \sin (\frac{π}{4} + B) = a$ .
（1）求证： $B - C = \frac{π}{2}$ ;

（2）若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

题型：未知
难度：未知

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已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + k n (k \in N^{*})$ ,且 $S_{n}$ 的最大值为8.
（1）确定常数 $k$ ，求 $a_{n}$ ；
（2）求数列 ${\frac{9 - 2 a_{n_{}}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ ，其中 $a \neq 0$

（1）若对一切 $x \in R, f (x) ⩾ 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.
（2）在函数 $f (x)$ 的图像上取定两点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $K$ ，问：是否存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ，使 $f ` (x_{0}) > k$ 成立？若存在，求 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

题型：未知
难度：未知

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在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的点均在 $C_{2} : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9$ 外，且对 $C_{1}$ 上任意一点 $M, M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离等于该点与圆 $C_{2}$ 上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的方程；
（Ⅱ）设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq \pm 3)$ 为圆 $C_{2}$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，分别与曲线 $C_{1}$ 相交于点 $A, B$ 和 $C, D$ .

证明：当 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值.

题型：未知
难度：未知

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