先化简，再求值：,其中．（本题10分）

先化简，再求值：,其中．（本题10分）

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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $y = x - 2$ 交于点 $A (3, m)$ ．

（1）求 $k$ 、 $m$ 的值；

（2）已知点 $P (n$ ， $n) (n > 0)$ ，过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交直线 $y = x - 2$ 于点 $M$ ，过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $N$ ．

①当 $n = 1$ 时，判断线段 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $PN ⩾ PM$ ，结合函数的图象，直接写出 $n$ 的取值范围．

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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $BD$ 为一条对角线， $AD / / BC$ ， $AD = 2 BC$ ， $∠ ABD = 90 °$ ， $E$ 为 $AD$ 的中点，连接 $BE$ ．

（1）求证：四边形 $BCDE$ 为菱形；

（2）连接 $AC$ ，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $BC = 1$ ，求 $AC$ 的长．

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关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ ．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求 $k$ 的取值范围．

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数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》 $)$

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明： $S_{矩形 NFGD} = S_{ΔADC} - (S_{ΔANF} + S_{ΔFGC})$ ， $S_{矩形 EBMF} = S_{ΔABC} - ($ 　　 $+$ 　　 $)$ ．

易知， $S_{ΔADC} = S_{ΔABC}$ ，　　 $=$ 　　，　　 $=$ 　　．

可得 $S_{矩形 NFGD} = S_{矩形 EBMF}$ ．

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ A = 36 °$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$ ．

求证： $AD = BC$ ．

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