已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.

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如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $C D$ 是圆 $O$ 上位于 $A B$ 异侧的两点，证明 $∠ A O B = ∠ D$

题型：未知
难度：未知

设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若对任意的正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $S_{n} = a_{m}$ ，则称 ${a_{n}}$ 是" $H$ 数列".
（1）若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，证明： ${a_{n}}$ 是" $H$ 数列".
（2）设 ${a_{n}}$ 是等差数列，其首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d < 0$ ，若 ${a_{n}}$ 是" $H$ 数列"，求 $d$ 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 ${a_{n}}$ ，总存在两个" $H$ 数列" ${b_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n} (n \in N^{*})$ 成立.

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已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.
（1）证明： $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $m f (x) \leq e^{- x} + m - 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（3）已知正数 $a$ 满足：存在 $x_{0} \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) < a (- {x_{0}}^{3} + 3 x_{0})$ 成立，试比较 $e^{a - 1}$ 与 $a^{e - 1}$ 的大小，并证明你的结论.

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如图：为保护河上古桥 $O A$ ，规划建一座新桥 $B C$ ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥 $B C$ 与河岸 $A B$ 垂直；保护区的边界为圆心 $M$ 在线段 $O A$ 上并与 $B C$ 相切的圆，且古桥两端 $O$ 和 $A$ 到该圆上任一点的距离均不少于 $80 m$ ，经测量，点 $A$ 位于点 $O$ 正北方向 $60 m$ 处，点 $C$ 位于点 $O$ 正东方向 $170 m$ 处，（ $O C$ 为河岸）， $\tan ∠ B C O = \frac{4}{3}$ .

（1）求新桥 $B C$ 的长；
（2）当 $O M$ 多长时，圆形保护区的面积最大？

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如图在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，顶点 $B$ 的坐标是 $(0, b)$ ，连接 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连接 $F_{1} C$ .

（1）若点 $C$ 的坐标为 $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ，且 $B F_{2} = \sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C ⊥ A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值.

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