如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连结BE、CF. ⑴ 求证:△BDF≌△CDE;⑵ 若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.
阅读下列材料:
在 △ A B C 中, ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,求证: a sinA = b sinB .
证明:如图1,过点 C 作 C D ⊥ A B 于点 D ,则:
在 R t △ B C D 中, C D = a sin B
在 R t △ A C D 中, C D = b sin A
∴ a sin B = b sin A
∴ a sinA = b sinB
根据上面的材料解决下列问题:
(1)如图2,在 △ A B C 中, ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,求证: b sinB = c sinC ;
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化,已知 ∠ A = 67 ° , ∠ B = 53 ° , A C = 80 米,求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据: sin 53 ° ≈ 0 . 8 , sin 67 ° ≈ 0 . 9 )
为了有效落实“双减”政策,某校随机抽取部分学生,开展了“书面作业完成时间”问卷调查.根据调查结果,绘制了如下不完整的统计图表:
频数分布统计表
组别
时间 x (分钟)
频数
A
0 ≤ x < 20
6
B
20 ≤ x < 40
14
C
40 ≤ x < 60
m
D
60 ≤ x < 80
n
E
80 ≤ x < 100
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题:
(1)频数分布统计表中的 m = ____, n = ____;
(2)补全频数分布直方图;
(3)已知该校有 1000 名学生,估计书面作业完成时间在 60 分钟以上(含 60 分钟)的学生有多少人?
(4)若 E 组有两名男同学、两名女同学,从中随机抽取两名学生了解情况,请用列表或画树状图的方法,求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.
如图,菱形 A B C D 的对角线 A C 、 B D 相交于点 O ,点 E 是 C D 的中点,连接 O E ,过点 C 作 C F ∥ B D 交 O E 的延长线于点 F ,连接 D F .
(1)求证: △ O D E ≌ △ F C E ;
(2)试判断四边形 O D F C 的形状,并写出证明过程.
中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后,张家界到怀化的运行时间由原来的 3 . 5 小时缩短至 1 小时,运行里程缩短了 40 千米.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快 200 千米,求高铁的平均速度.
如图所示的方格纸( 1 格长为一个单位长度)中, △ A O B 的顶点坐标分别为 A ( 3 , 0 ) , O ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 4 ) .
(1)将 △ A O B 沿 x 轴向左平移 5 个单位,画出平移后的 △ A 1 O 1 B 1 (不写作法,但要标出顶点字母);
(2)将 △ A O B 绕点 O 顺时针旋转 90 ° ,画出旋转后的 △ A 2 O 2 B 2 (不写作法,但要标出顶点字母);
(3)在(2)的条件下,求点 B 绕点 O 旋转到点 B 2 所经过的路径长(结果保留 π ).