(本小题10分)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-,求此双曲线的方程.
(本小题满分14分) 已知:函数(),. (1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值; (2)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围; (3)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得不等式和都成立,则称直线为函数与的“分界线”。设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
(本小题满分14分) 已知:函数是定义在上的偶函数,当时,为实数). (1)当时,求的解析式; (2)若,试判断上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在,使得当有最大值1?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分) 已知:如图,长方体中,、分别是棱,上的点,,. (1) 求异面直线与所成角的余弦值; (2) 证明平面; (3) 求二面角的正弦值.
(本小题满分13分) 已知:向量与共线,其中A是△ABC的内角。 (1)求:角的大小; (2)若BC=2,求△ABC面积的最大值,并判断S取得最大值时△ABC的形状。
(本小题满分13分) 甲和乙参加智力答题活动,活动规则:①答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停止答题;②每人最多答3个题;③答对第一题得10分,第二题得20分,第三题得30分,答错得0分。已知甲答对每个题的概率为,乙答对每个题的概率为。 (1)求甲恰好得30分的概率; (2)设乙的得分为,求的分布列和数学期望; (3)求甲恰好比乙多30分的概率.